Bac informatică 2023 Varianta 6, rezolvată

Varianta 6 de la Bacalaureatul la Informatică (Mate-Info, C/C++): conține 3 subiecte (90 de puncte) și are un timp de lucru de 3 ore. Sub fiecare exercițiu găsești răspunsul corect și rezolvarea.

Începe testul3 ore

I II III

Subiecte oficiale publicate de Ministerul Educației. Rezolvări realizate de subac. Actualizat la 16 octombrie 2026.

Subiectul oficial (PDF)Baremul oficial (PDF)

📌 Despre Varianta 6 din 2023

Varianta 6 din 2023 trece prin expresii logice, recursivitate, structuri, backtracking, grafuri orientate și arbori, șiruri de caractere, puteri, matrice și fișiere. Este o variantă echilibrată, bună ca test complet.

Subiectul I (20p): 5 grile: o expresie care verifică dacă două numere sunt pare, un subprogram recursiv care scrie un număr în baza k, volumul unui paralelipiped memorat într-o structură, o problemă de backtracking cu șiruri din literele lui AMURG și cel mai lung drum elementar care pornește din vârful 1 într-un graf orientat cu 23 de vârfuri.

Subiectul al II-lea (40p): Un algoritm în pseudocod cu două structuri pentru imbricate care afișează cifrele 2 și 3, toți descendenții unui nod într-un arbore dat prin vectorul de „tați” și o secvență care afișează prefixele unui șir care se termină cu prima lui literă.

Subiectul al III-lea (30p): Un subprogram (Putere, care scrie n ca x^{^p} cu x minim), o problemă cu o matrice completată din primul rând, cu sume luate modulo 100 și gazon în dreapta diagonalei secundare, și o problemă de eficiență cu „p-intervale” pentru un șir citit din fișierul bac.in.

⚠️ La ce să fii atent

La I.1: Variantele a), b) și d) verifică doar că m și n au aceeași paritate, deci sunt adevărate și pentru două numere impare, de exemplu 1 și 3. Doar m%2+n%2==0 cere ca amândouă să fie pare.
La I.5: Din fiecare vârf pleacă un singur arc, deci drumul din 1 este unic: 1, 2, 4, 8, 16, 15, ..., 11, 22, 21, ..., 17. Din 17 s-ar ajunge în 16, deja vizitat, deci drumul are 16 vârfuri.
La II.2: Se cer toți descendenții, nu doar fiii. Fiii lui 2 sunt 4 și 5, dar și 6 (fiul lui 4) și 7 (fiul lui 5) sunt descendenți: 4, 5, 6, 7.
La III.1: Nu uita cazul în care n nu este o putere cu exponent mai mare decât 1: pentru n=12, rezultatul este x=12 și p=1.
La III.3: p-intervalul este [minim, maxim] al primilor p termeni. El rămâne același ca (p-1)-intervalul doar dacă al p-lea termen se află deja între minimul și maximul de până atunci, deci e de ajuns să ții minte minimul și maximul.

Subiectul I

20 de puncte

Exercițiul 1 4p Expresii și operatori
Variabilele întregi m și n memorează câte un număr natural.
Indicați expresia C/C++ care are valoarea 1 dacă și numai dacă fiecare dintre numerele memorate în variabilele m și n este par.
- a)(m+n)%2==0
- b)(m-n)%2==0
- c)m%2+n%2==0
- d)m%2-n%2==0
Vezi rezolvareaAscunde rezolvarea
Răspuns corect: c) m%2+n%2==0
m%2 și n%2 sunt 0 sau 1, deci suma lor este 0 doar când amândouă sunt 0, adică atunci când ambele numere sunt pare.
a), b) și d) sunt adevărate când numerele au aceeași paritate, deci și când amândouă sunt impare (de exemplu 1 și 3).
Exercițiul 2 4p Recursivitate
Subprogramul f este definit alăturat.
Indicați valoarea f(35,3).
```
int f(int n,int k)
{ if(n==0 || k==0) return 0;
  return n%k+10*f(n/k,k);
}
```
- a)1022
- b)355
- c)102
- d)33
Vezi rezolvareaAscunde rezolvarea
Răspuns corect: a) 1022
f(n,k) ia ultima cifră a lui n în baza k (n%k) și pune în fața ei, înmulțit cu 10, rezultatul pentru n/k: construiește scrierea lui n în baza k, citită ca număr în baza 10.
35 = 1·27 + 0·9 + 2·3 + 2, deci scrierea lui 35 în baza 3 este 1022, iar f(35,3) = 1022.
Exercițiul 3 4p Tipul înregistrare (struct)
Variabila p, declarată alăturat, memorează dimensiunile unui paralelipiped dreptunghic: lungimea, lățimea, respectiv înălțimea.
Volumul paralelipipedului este egal cu produsul celor trei dimensiuni ale sale.
Indicați o instrucțiune prin care i se atribuie variabilei reale v valoarea volumului paralelipipedului corespunzător variabilei p.
```
struct paralelipiped
{  float lg,lt,h;
}p;
```
- a)v=lg*lt*h;
- b)v=lg.p*lt.p*h.p;
- c)v=p(lg*lt*h);
- d)v=p.lg*p.lt*p.h;
Vezi rezolvareaAscunde rezolvarea
Răspuns corect: d) v=p.lg*p.lt*p.h;
Câmpurile se accesează prin variabila p: p.lg, p.lt și p.h, iar volumul este produsul lor: v=p.lg*p.lt*p.h;.
a) folosește câmpurile fără variabilă, iar b) și c) nu sunt instrucțiuni C/C++ valide.
Exercițiul 4 4p Backtracking
Utilizând metoda bactracking se generează toate șirurile de 5 litere distincte din mulțimea {A, M, U, R, G}, astfel încât în fiecare șir litera R precede literele A și M. Primele cinci soluții generate sunt, în această ordine:
1. URAMG
2. URAGM
3. URMAG
4. URMGA
5. URGAM
Indicați soluția generată imediat după GURMA.
- a)GARUM
- b)GRAMU
- c)GRAUM
- d)GRUAM
Vezi rezolvareaAscunde rezolvarea
Răspuns corect: b) GRAMU
Literele se încearcă în ordinea din mulțime, A, M, U, R, G, iar R trebuie să apară înaintea lui A și a lui M.
După GURMA nu mai există altă continuare pentru prefixul GU: pe poziția a treia, după R, ar urma doar G, deja folosit. Se schimbă deci a doua literă: după U vine R. Cu prefixul GR, celelalte litere se pun în ordinea cea mai mică, A, M, U, iar R este înaintea lui A și a lui M: GRAMU.
Exercițiul 5 4p Grafuri orientate
Într-o zonă sunt 23 de obiective turistice, numerotate de la 1 la 23; zona este reprezentată ca un graf orientat în care vârfurile corespund acestor obiective, iar arcele sunt stabilite în funcție de modalitatea de deplasare între două obiective, astfel: de la fiecare obiectiv numerotat cu i (i∈[1,23]) se poate merge direct doar la obiectivul numerotat cu 2*i, dacă acesta există, sau doar la obiectivul numerotat cu i-1, în caz contrar.
Indicați numărul maxim de vârfuri ale unui drum elementar în acest graf, cu extremitatea inițială 1.
- a)5
- b)11
- c)16
- d)21
Vezi rezolvareaAscunde rezolvarea
Răspuns corect: c) 16
Din fiecare vârf pleacă exact un arc (spre 2·i, dacă există, altfel spre i−1), deci drumul care pornește din 1 este unic: se merge pe el până se ajunge într-un vârf deja vizitat.
1 → 2 → 4 → 8 → 16 → 15 → 14 → 13 → 12 → 11 → 22 → 21 → 20 → 19 → 18 → 17, iar din 17 s-ar ajunge în 16, deja vizitat. Drumul elementar are 16 vârfuri.

Subiectul al II-lea

40 de puncte

Exercițiul 1.a 6p Algoritmi în pseudocod
Algoritmul alăturat este reprezentat în pseudocod.
Scrieți ce se afișează în urma executării algoritmului, dacă se citește numărul 3.
```
citește n
    (număr natural nenul)
┌pentru i←1,n execută
│┌pentru j←1,n execută
││┌dacă j≤i atunci
│││  scrie 2
│││altfel
│││  scrie 3
││└■
│└■
└■
```
Vezi rezolvareaAscunde rezolvarea
Răspunsul din barem: 233223222
Pentru fiecare rând i și fiecare coloană j, ambele de la 1 la n, se scrie 2 dacă j≤i, altfel 3, fără spații între cifre. Pentru n=3: rândul 1 dă 233, rândul 2 dă 223, iar rândul 3 dă 222.
Exercițiul 1.b 6p Algoritmi în pseudocod
Același algoritm ca la 1.a.
Scrieți două numere care pot fi citite, astfel încât, în urma executării algoritmului, pentru fiecare dintre acestea, în total, numărul de cifre 2 afișate să fie în intervalul [20,50].
Vezi rezolvareaAscunde rezolvarea
Exemplu: 6 9
Pe rândul i se scrie de i ori cifra 2, deci în total se scriu 1 + 2 + … + n = n·(n+1)/2 cifre 2. Valoarea este în intervalul [20,50] pentru n = 6 (21), 7 (28), 8 (36) și 9 (45).
Exercițiul 1.c 10p Algoritmi în pseudocod
Același algoritm ca la 1.a.
Scrieți programul C/C++ corespunzător algoritmului dat.
Vezi rezolvareaAscunde rezolvarea
```
#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
    int n, i, j;
    cin >> n;
    for (i = 1; i <= n; i++)
        for (j = 1; j <= n; j++)
            if (j <= i) cout << 2;
            else cout << 3;
    return 0;
}
```
Cele două structuri pentru devin for, iar dacă…altfel devine if…else. Cifrele se afișează una după alta, fără spații, ca în algoritm.
Exercițiul 1.d 6p Algoritmi în pseudocod
Același algoritm ca la 1.a.
Scrieți în pseudocod un algoritm, echivalent cu cel dat, înlocuind una dintre structurile pentru...execută cu o structură de tip cât timp...execută.
Vezi rezolvareaAscunde rezolvarea
```
citește n (număr natural nenul)
i←1
┌cât timp i≤n execută
│┌pentru j←1,n execută
││┌dacă j≤i atunci
│││ scrie 2
│││altfel
│││ scrie 3
││└■
│└■
│ i←i+1
└■
```
A fost înlocuită prima structură pentru. Cu cât timp, contorul i se gestionează explicit: primește valoarea inițială 1 înainte de buclă, se continuă cât timp i≤n, iar i←i+1 se face la sfârșitul corpului.
Exercițiul 2 6p Arbori
Un arbore cu 8 noduri, numerotate de la 1 la 8, este reprezentat prin vectorul de „tați" (0,1,1,2,2,4,5,1). Enumerați toți descendenții nodului numerotat cu 2.
Vezi rezolvareaAscunde rezolvarea
Răspunsul din barem: 4, 5, 6, 7
Fiii lui 2 sunt nodurile care au în vector valoarea 2, adică 4 și 5. Fiul lui 4 este 6, iar fiul lui 5 este 7, iar aceștia nu mai au fii. Descendenții lui 2 sunt toți: 4, 5, 6 și 7, în orice ordine.
Exercițiul 3 6p Șiruri de caractere
Un șir de caractere a este numit prefix al unui șir de caractere b dacă este identic cu b sau dacă b se obține din a prin adăugarea la dreapta a unor alte caractere.
Variabila k este de tip întreg, iar variabila s permite accesul la un șir de cel mult 20 de caractere.
Scrieți secvența de instrucțiuni de mai jos, înlocuind punctele de suspensie astfel încât, în urma executării secvenței obținute, să se afișeze pe ecran, în ordinea descrescătoare a lungimii, separate prin câte un spațiu, toate prefixele șirului accesat prin variabila s, fiecare încheindu-se cu prima literă a șirului s, ca în exemplu. Declarați eventualele alte variabile utilizate.
Exemplu: pentru șirul elemente se afișează: elemente eleme ele e
```
for(k=strlen(s)-1;k>=0;k--)
{..................}
```
Vezi rezolvareaAscunde rezolvarea
```
for(k=strlen(s)-1;k>=0;k--)
{ if(s[k]==s[0])
  { char c=s[k+1];
    s[k+1]='\0';
    cout<<s<<' ';
    s[k+1]=c;
  }
}
```
Un prefix care se încheie cu prima literă a lui s se termină pe o poziție k unde s[k] este egală cu s[0]. Pozițiile se parcurg de la ultima la prima, deci prefixele ies în ordinea descrescătoare a lungimii. Ca să se afișeze doar prefixul, terminatorul de șir se pune temporar pe poziția k+1, iar caracterul de acolo, păstrat în c, se pune la loc după afișare.

Subiectul al III-lea

30 de puncte

Exercițiul 1 10p Subprograme
Subprogramul Putere are trei parametri:
• n, prin care primește un număr natural (n∈[2,10^{^9}]);
• x și p, prin care furnizează două numere naturale cu proprietatea că n=x^{^p}, iar x este cel mai mic număr cu această proprietate.
Scrieți definiția completă a subprogramului.
Exemplu: dacă n=16 atunci, după apel, x=2 și p=4, dacă n=216 atunci, după apel, x=6 și p=3, iar dacă n=12 atunci, după apel, x=12 și p=1.
Vezi rezolvareaAscunde rezolvarea
```
void Putere(int n, int &x, int &p)
{
    int b, m, k;
    for (b = 2; b * b <= n; b++)
    {
        m = n;
        k = 0;
        while (m % b == 0)
        {
            m = m / b;
            k++;
        }
        if (m == 1)
        {
            x = b;
            p = k;
            return;
        }
    }
    x = n;
    p = 1;
}
```
Bazele posibile se încearcă în ordine crescătoare. Pentru o bază b, n se împarte la b de câte ori se poate; dacă rămâne 1, n este o putere a lui b, cu exponentul egal cu numărul de împărțiri, iar b este cea mai mică bază, fiindcă cele mai mici au fost încercate înainte. O bază mai mare decât radicalul lui n ar da exponentul 1, deci, dacă nu s-a găsit nimic, x = n și p = 1.
Exercițiul 2 10p Tablouri bidimensionale
La o expoziție sunt prezentate mai multe tipuri de flori, fiecare având un anumit cod. Zona de expunere este organizată pe n rânduri, fiecare având câte n parcele de dimensiune egală. Pe primul rând sunt expuse n tipuri de flori distincte, fiecare parcelă conținând flori de un anumit tip. Celelalte parcele sunt ocupate astfel:
• toate parcelele aflate în dreapta diagonalei secundare a zonei de expunere sunt ocupate de gazon;
• fiecare parcelă, aflată pe diagonala secundară a zonei de expunere sau în stânga acestei diagonale, conține flori cu un cod de cel mult două cifre, obținut din ultimele două cifre ale sumei codurilor florilor aflate în două parcele de pe rândul anterior, și anume cea de pe aceeași coloană, respectiv cea de pe coloana din dreapta sa; dacă prima dintre cifrele codului obținut este 0, ea este ignorată, ca în exemplu.
Scrieți un program C/C++ care citește de la tastatură un număr natural, n (n∈[2,20]), apoi n numere naturale distincte din intervalul [0,10^{^2}), reprezentând, în această ordine, de la stânga la dreapta, codurile florilor din parcelele aflate pe primul rând al zonei de expunere; gazonul are codul -1. Programul construiește în memorie un tablou bidimensional cu n linii și n coloane, în care fiecare linie corespunde unui rând de parcele și fiecare element al liniei corespunde unei parcele, în ordinea acestora, și memorează codul plantelor (flori sau gazon) plasate în acea parcelă.
Programul afișează pe ecran tabloul obținut, fiecare linie a tabloului pe câte o linie a ecranului, elementele de pe aceeași linie fiind separate prin câte un spațiu.
Exemplu: dacă se citesc numerele n=5, apoi 90, 10, 4, 27, 30 se obține tabloul alăturat.
Vezi rezolvareaAscunde rezolvarea
```
#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
    int n, a[20][20], i, j;
    cin >> n;
    for (j = 0; j < n; j++)
        cin >> a[0][j];
    for (i = 1; i < n; i++)
        for (j = 0; j < n; j++)
            if (i + j <= n - 1) a[i][j] = (a[i - 1][j] + a[i - 1][j + 1]) % 100;
            else a[i][j] = -1;
    for (i = 0; i < n; i++)
    {
        for (j = 0; j < n; j++)
            cout << a[i][j] << ' ';
        cout << '\n';
    }
    return 0;
}
```
Numerotând de la 0, o parcelă (i,j) este pe diagonala secundară sau în stânga ei când i + j ≤ n − 1; în dreapta ei este gazon, cu codul -1. Pentru o parcelă cu flori de pe un rând i ≥ 1, codul este restul împărțirii la 100 al sumei parcelelor de deasupra ei și din dreapta acesteia; restul la 100 păstrează ultimele două cifre și ignoră automat un 0 de la început. Pe rândul anterior, coloana j+1 este tot în zona cu flori, deci suma se face mereu între două coduri de flori.
Exercițiul 3.a 2p Algoritmi eficienți
Intervalul [x,y] se numește p-interval pentru un șir de valori întregi, dacă oricare dintre primii p termeni ai șirului aparține intervalului, iar numărul de valori întregi distincte din interval este minim.
Exemplu: pentru șirul 2, 7, -1, 8, 3, 10 există [2,2] ca 1-interval, [-1,8] ca 4-interval și 5-interval etc. Fișierul bac.in conține un șir de cel mult 10^{^6} numere întregi din intervalul [-10^{^9},10^{^9}], separate prin câte un spațiu.
Se cere să se afișeze pe ecran cea mai mică și cea mai mare valoare a lui p (p≥2) cu proprietatea că (p-1)-interval este identic cu p-interval pentru șirul aflat în fișier. Valorile afișate pot fi egale, iar dacă nu există nicio astfel de valoare, pe ecran se afișează mesajul nu exista. Proiectați un algoritm eficient din punctul de vedere al timpului de executare și al memoriei utilizate.
Exemplu: dacă fișierul conține numerele 2 7 1 8 3 10 6 -3 -2 13, se afișează pe ecran 5 9 (intervale conform cerinței se obțin pentru valorile 5, 7 și 9 ale lui p), iar dacă fișierul conține numerele 2 7 1 0 8 10 -3 13, se afișează pe ecran nu exista
Descrieți în limbaj natural algoritmul proiectat, justificând eficiența acestuia.
Vezi rezolvareaAscunde rezolvarea
Timp de executare: O(n) · Memorie: O(1)
p-intervalul primilor p termeni este [minimul lor, maximul lor]. (p−1)-intervalul este identic cu p-intervalul exact când al p-lea termen nu schimbă nici minimul, nici maximul, adică se află deja în intervalul [min, max] al termenilor dinaintea lui.
Termenii se citesc pe rând, fără să fie memorați, păstrându-se minimul și maximul de până atunci și poziția curentă p. Pentru fiecare termen de la al doilea încolo: dacă se află între minim și maxim, p este o valoare potrivită — dacă este prima găsită, se reține ca pmin, iar în orice caz devine pmax. Apoi se actualizează minimul și maximul. La final se afișează pmin și pmax sau nu exista, dacă nu s-a găsit nicio valoare.
Eficiență: fiecare termen se prelucrează o singură dată, în timp constant, deci algoritmul este liniar în numărul de termeni; se folosesc doar câteva variabile simple, deci memoria este constantă.
Exercițiul 3.b 8p Algoritmi eficienți
Intervalul [x,y] se numește p-interval pentru un șir de valori întregi, dacă oricare dintre primii p termeni ai șirului aparține intervalului, iar numărul de valori întregi distincte din interval este minim.
Exemplu: pentru șirul 2, 7, -1, 8, 3, 10 există [2,2] ca 1-interval, [-1,8] ca 4-interval și 5-interval etc. Fișierul bac.in conține un șir de cel mult 10^{^6} numere întregi din intervalul [-10^{^9},10^{^9}], separate prin câte un spațiu.
Se cere să se afișeze pe ecran cea mai mică și cea mai mare valoare a lui p (p≥2) cu proprietatea că (p-1)-interval este identic cu p-interval pentru șirul aflat în fișier. Valorile afișate pot fi egale, iar dacă nu există nicio astfel de valoare, pe ecran se afișează mesajul nu exista. Proiectați un algoritm eficient din punctul de vedere al timpului de executare și al memoriei utilizate.
Exemplu: dacă fișierul conține numerele 2 7 1 8 3 10 6 -3 -2 13, se afișează pe ecran 5 9 (intervale conform cerinței se obțin pentru valorile 5, 7 și 9 ale lui p), iar dacă fișierul conține numerele 2 7 1 0 8 10 -3 13, se afișează pe ecran nu exista
Scrieți programul C/C++ corespunzător algoritmului proiectat.
Vezi rezolvareaAscunde rezolvarea
```
#include <fstream>
#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
    ifstream fin("bac.in");
    int x, p = 0, pmin = 0, pmax = 0, minc = 1000000001, maxc = -1000000001;
    while (fin >> x)
    {
        p++;
        if (x >= minc && x <= maxc)
        {
            if (pmin == 0) pmin = p;
            pmax = p;
        }
        if (x < minc) minc = x;
        if (x > maxc) maxc = x;
    }
    fin.close();
    if (pmin == 0) cout << "nu exista";
    else cout << pmin << ' ' << pmax;
    return 0;
}
```
Programul face pașii de la 3.a. Minimul pornește de la o valoare mai mare decât orice termen, iar maximul de la una mai mică, deci primul termen nu poate fi în interval și le stabilește pe amândouă.

Vrei să vezi ce notă ai lua la examen?

Intră în modul simulare: ai cronometru de 3 ore, codul ți se compilează pe loc, iar la final primești nota conform baremului.

Începe simularea3 ore

Bac informatică 2023 Varianta 6, rezolvată

📌 Despre Varianta 6 din 2023

⚠️ La ce să fii atent

Subiectul I

Exercițiul 1 4p Expresii și operatori

Exercițiul 2 4p Recursivitate

Exercițiul 3 4p Tipul înregistrare (struct)

Exercițiul 4 4p Backtracking

Exercițiul 5 4p Grafuri orientate

Subiectul al II-lea

Exercițiul 1.a 6p Algoritmi în pseudocod

Exercițiul 1.b 6p Algoritmi în pseudocod

Exercițiul 1.c 10p Algoritmi în pseudocod

Exercițiul 1.d 6p Algoritmi în pseudocod

Exercițiul 2 6p Arbori

Exercițiul 3 6p Șiruri de caractere

Subiectul al III-lea

Exercițiul 1 10p Subprograme

Exercițiul 2 10p Tablouri bidimensionale

Exercițiul 3.a 2p Algoritmi eficienți

Exercițiul 3.b 8p Algoritmi eficienți