Bac informatică 2025 Model, rezolvat

Modelul de la Bacalaureatul la Informatică (Mate-Info, C/C++): conține 3 subiecte (90 de puncte) și are un timp de lucru de 3 ore. Sub fiecare exercițiu găsești răspunsul corect și rezolvarea.

Începe testul3 ore

I II III

Subiecte oficiale publicate de Ministerul Educației. Rezolvări realizate de subac. Actualizat la 16 octombrie 2026.

Subiectul oficial (PDF)Baremul oficial (PDF)

📌 Despre Modelul din 2025

Modelul din 2025 trece prin expresii logice, recursivitate, șiruri de caractere, grafuri orientate și neorientate, backtracking, structuri, cifre, matrice și fișiere. Este un test complet, bun ca să vezi cum arată un subiect de Bac de la cap la coadă.

Subiectul I (20p): 5 grile: intervalul pentru care o expresie cu trei negații este adevărată, un subprogram recursiv cu un apel în interiorul altui apel, o secvență care interschimbă literele șirului ROMANIA, un circuit elementar într-un graf orientat și numărul de noduri ale unui graf neorientat complet cu 300 de muchii.

Subiectul al II-lea (40p): Un algoritm în pseudocod care numără valorile de la 1 la n care se împart la exact unul dintre numerele x și y, o problemă de backtracking cu numere din cifre distincte cu suma 6 și definiția unei structuri epoca care conține o altă structură.

Subiectul al III-lea (30p): Un subprogram cu cifre (pao, care verifică dacă două numere sunt „par-oglindite”), o problemă cu o matrice cu multiplii lui k pe diagonala principală și valori consecutive pe linii și o problemă de eficiență cu codurile mașinilor de epocă citite din fișierul bac.txt.

⚠️ La ce să fii atent

La I.2: Calculează întâi apelul din interior, f(n-2,x), apoi pe cel exterior. f(0,5) este 5, deci f(2,5) devine f(3,0), iar la final se obține -5.
La I.5: Un graf complet cu n noduri are n·(n-1)/2 muchii. Din n·(n-1) = 600 = 25·24 rezultă 25 de noduri.
La II.2: Un număr se scrie imediat ce suma cifrelor ajunge 6, dar generarea continuă și după el, pentru că o cifră 0 nefolosită păstrează suma. De aceea, după 123 urmează 1230.
La III.1: Cifra 0 este pară, dar se îndepărtează odată cu cifrele impare. Dacă niciun număr nu are cifre pare nenule, rezultatul este 0: pentru x=15 și y=510, rez=0.
La III.3: Cele două mașini trebuie să fie vecine în șir. În exemplu, 201925 este ultima mașină din 1925, dar înaintea ei este una din 1950, deci ultima pereche bună este 31925 151925, iar pe ecran apare 3 15.

Subiectul I

20 de puncte

Exercițiul 1 4p Expresii și operatori
Indicați intervalul căruia îi aparține valoarea variabilei reale x, dacă și numai dacă expresia C/C++ de mai jos are valoarea 1.
```
!(x<2004) && !(x<2005 || x>2024) && !(x>2025)
```
- a)[2004,2005]
- b)[2004,2024]
- c)[2005,2024]
- d)[2005,2025]
Vezi rezolvareaAscunde rezolvarea
Răspuns corect: c) [2005,2024]
!(x<2004) înseamnă x>=2004, !(x<2005 || x>2024) înseamnă x>=2005 && x<=2024, iar !(x>2025) înseamnă x<=2025. Toate trei trebuie să fie adevărate, iar condiția din mijloc este cea mai strictă: x aparține intervalului [2005,2024].
Exercițiul 2 4p Recursivitate
Subprogramul f este definit alăturat.
Indicați valoarea f(2,5).
```
int f(int n,int x)
{  if(n>0)
     return f(f(n-2,x)-2,x-5);
   return x;
}
```
- a)3
- b)0
- c)-2
- d)-5
Vezi rezolvareaAscunde rezolvarea
Răspuns corect: d) -5
f(2,5) = f(f(0,5)-2, 0). f(0,5) = 5, deci se calculează f(3,0) = f(f(1,0)-2, -5).
f(1,0) = f(f(-1,0)-2, -5); f(-1,0) = 0, deci f(1,0) = f(-2,-5) = -5. Atunci f(3,0) = f(-7,-5) = -5, iar f(2,5) = -5.
Exercițiul 3 4p Șiruri de caractere
Variabila s poate accesa un șir de cel mult 20 de caractere, variabila aux este de tip char, iar celelalte variabile sunt de tip întreg.
Indicați șirul accesat prin intermediul variabilei s în urma executării secvenței alăturate.
```
strcpy(s,"ROMANIA"); i=strlen(s)-1; j=3;
while(j>=0)
{ aux=s[i]; s[i]=s[i-j]; s[i-j]=aux;
  i=i-j; j=j-1;
}
```
- a)ARMONIA
- b)IAMARON
- c)MANIARO
- d)MARONIA
Vezi rezolvareaAscunde rezolvarea
Răspuns corect: a) ARMONIA
La început s este ROMANIA (pozițiile de la 0 la 6), i=6 și j=3. Fiecare pas interschimbă caracterele de pe pozițiile i și i-j, apoi i scade cu j, iar j scade cu 1.
Cu j=3 se schimbă pozițiile 6 și 3, dar pe amândouă este A, deci șirul nu se schimbă; i devine 3. Cu j=2 se schimbă pozițiile 3 și 1: RAMONIA; i devine 1. Cu j=1 se schimbă pozițiile 1 și 0: ARMONIA; i devine 0. Cu j=0 poziția 0 se schimbă cu ea însăși, iar bucla se oprește. Rezultatul este ARMONIA.
Exercițiul 4 4p Grafuri orientate
Un graf orientat are 6 vârfuri, numerotate de la 1 la 6, și arcele:
1. (1,2)
2. (1,6)
3. (2,3)
4. (3,1)
5. (3,4)
6. (4,5)
7. (5,3)
8. (5,6)
Indicați un circuit elementar al acestui graf.
- a)1,2,3
- b)1,2,3,1
- c)1,2,3,4,5,3,1
- d)1,2,3,4,5,6,1
Vezi rezolvareaAscunde rezolvarea
Răspuns corect: b) 1,2,3,1
Un circuit elementar pornește dintr-un vârf, trece prin vârfuri distincte și revine în vârful de plecare, pe arce din graf. Arcele (1,2), (2,3) și (3,1) formează circuitul 1,2,3,1.
a) nu revine în vârful 1; c) trece de două ori prin vârful 3, deci nu e elementar; d) folosește arcul (6,1), care nu există.
Exercițiul 5 4p Grafuri neorientate
Indicați numărul de noduri ale unui graf neorientat, complet, cu 300 de muchii.
- a)25
- b)30
- c)299
- d)301
Vezi rezolvareaAscunde rezolvarea
Răspuns corect: a) 25
Un graf neorientat complet cu n noduri are câte o muchie între oricare două noduri, adică n·(n−1)/2 muchii. n·(n−1)/2 = 300 înseamnă n·(n−1) = 600 = 25·24, deci n = 25.

Subiectul al II-lea

40 de puncte

Exercițiul 1.a 6p Algoritmi în pseudocod
Algoritmul alăturat este reprezentat în pseudocod.
S-a notat cu a%b restul împărțirii numărului natural a la numărul natural nenul b.
Scrieți valoarea afișată în urma executării algoritmului, dacă se citesc, în această ordine, numerele 15, 3, 4.
```
citește n,x,y
  (numere naturale nenule, x≤n, y≤n)
 nr←0
┌pentru i←n,1,-1 execută
│┌dacă i%x=0 și i%y≠0 atunci
││ nr←nr+1
││altfel
││┌dacă i%x≠0 și i%y=0 atunci
│││ nr←nr+1
││└■
│└■
└■
 scrie nr
```
Vezi rezolvareaAscunde rezolvarea
Răspunsul din barem: 6
Algoritmul numără valorile i de la 1 la n care se împart la exact unul dintre numerele x și y. Pentru n=15, x=3, y=4: multiplii lui 3 sunt 3, 6, 9, 12, 15, iar ai lui 4 sunt 4, 8, 12. 12 se împarte la amândouă, deci nu se numără; rămân 3, 6, 9, 15, 4 și 8: 6 valori.
Exercițiul 1.b 6p Algoritmi în pseudocod
Același algoritm ca la 1.a.
S-a notat cu a%b restul împărțirii numărului natural a la numărul natural nenul b.
Scrieți două seturi distincte de date de intrare, astfel încât, în urma executării algoritmului, pentru fiecare dintre acestea să se afișeze valoarea 0.
Vezi rezolvareaAscunde rezolvarea
Exemplu: 5 2 2 și 7 3 3
Dacă x = y, orice număr care se împarte la unul se împarte și la celălalt, deci niciun i nu se numără și se afișează 0. Merge orice set cu numere nenule în care x = y ≤ n, de exemplu n=5, x=2, y=2 sau n=7, x=3, y=3.
Exercițiul 1.c 10p Algoritmi în pseudocod
Același algoritm ca la 1.a.
S-a notat cu a%b restul împărțirii numărului natural a la numărul natural nenul b.
Scrieți programul C/C++ corespunzător algoritmului dat.
Vezi rezolvareaAscunde rezolvarea
```
#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
    int n, x, y, nr = 0, i;
    cin >> n >> x >> y;
    for (i = n; i >= 1; i--)
        if (i % x == 0 && i % y != 0) nr = nr + 1;
        else if (i % x != 0 && i % y == 0) nr = nr + 1;
    cout << nr;
    return 0;
}
```
pentru i←n,1,-1 execută devine for (i = n; i >= 1; i--). Structura dacă…altfel dacă devine if…else if.
Exercițiul 1.d 6p Algoritmi în pseudocod
Același algoritm ca la 1.a.
S-a notat cu a%b restul împărțirii numărului natural a la numărul natural nenul b.
Scrieți în pseudocod un algoritm echivalent cu cel dat, înlocuind adecvat structura pentru...execută cu o structură repetitivă cu test inițial.
Vezi rezolvareaAscunde rezolvarea
```
citește n,x,y (numere naturale nenule, x≤n, y≤n)
nr←0
i←n
┌cât timp i≥1 execută
│┌dacă i%x=0 și i%y≠0 atunci
││ nr←nr+1
││altfel
││┌dacă i%x≠0 și i%y=0 atunci
│││ nr←nr+1
││└■
│└■
│ i←i-1
└■
scrie nr
```
Cu cât timp, contorul se gestionează explicit: i primește valoarea inițială n înainte de buclă, se continuă cât timp i≥1, iar i←i-1 se face la sfârșitul corpului.
Exercițiul 2 6p Backtracking
Utilizând metoda backtracking, se generează toate numerele formate din cifre distincte, cifre a căror sumă să fie 6. Primele patru soluții generate sunt, în această ordine: 1023, 1032, 105 și 1203.
Scrieți cea de a cincea și cea de a șasea soluție generată.
Vezi rezolvareaAscunde rezolvarea
Răspunsul din barem: 123 1230
Numerele se construiesc cifră cu cifră, încercând cifrele în ordine crescătoare, iar un număr se scrie de îndată ce suma cifrelor lui ajunge 6 — după care se încearcă și prelungirea lui, pentru că o cifră 0 nefolosită păstrează suma. După 1203, cu prefixul 12 următoarea cifră încercată este 3: 123 are suma 6. Prelungit cu 0, încă nefolosit, dă 1230, tot cu suma 6 și cifre distincte. Abia apoi urmează numerele care încep cu 13, de la 1302.
Exercițiul 3 6p Tipul înregistrare (struct)
Variabila m memorează date despre o mașină de epocă: anul fabricației și data (ziua și luna) ultimei prezentări în cadrul unei expoziții de profil care a avut loc în anul curent.
Știind că expresiile C/C++ de mai jos memorează anul fabricației mașinii (număr natural din intervalul [1880,1950]), ziua (număr natural din intervalul [1,31]) și luna (șir de cel mult 15 caractere) din anul curent la care a fost prezentată aceasta la o expoziție, scrieți definiția unei structuri, cu eticheta epoca, înregistrare care să permită memorarea datelor unei mașini de epocă, și declarați variabila m, de acest tip.
```
m.anFabricatie  m.expo.zi m.expo.luna
```
Vezi rezolvareaAscunde rezolvarea
```
struct data
{   int zi;
    char luna[16];
};

struct epoca
{   int anFabricatie;
    data expo;
} m;
```
m.anFabricatie este un număr natural, iar m.expo.zi și m.expo.luna arată că expo este la rândul lui o structură, cu ziua (număr) și luna (șir de cel mult 15 caractere, deci un tablou de 16, cu loc pentru terminatorul '\0'). Structura data poate fi definită și în interiorul lui epoca.

Subiectul al III-lea

30 de puncte

Exercițiul 1 10p Subprograme
Două numere se numesc oglindite dacă fiecare se obține din celălalt, prin parcurgerea cifrelor acestuia de la dreapta la stânga. Două numere se numesc par-oglindite dacă numerele obținute din acestea, prin îndepărtarea tuturor cifrelor lor impare sau nule, sunt oglindite.
Subprogramul pao are trei parametri:
• x și y, prin care primește câte un număr natural din intervalul [0,10^{^9}];
• rez, prin care furnizează valoarea 1, dacă x și y sunt par-oglindite, sau valoarea 0, în caz contrar.
Scrieți definiția completă a subprogramului.
Exemplu: dacă x=814 și y=7003485, sau x=14 și y=700345, după apel rez=1, iar dacă x=814 și y=7003465, sau x=814 și y=7003845, sau x=15 și y=510, după apel rez=0.
Vezi rezolvareaAscunde rezolvarea
```
void pao(int x, int y, int &rez)
{
    int a = 0, p = 1, r = 0, c;
    while (x > 0)
    {
        c = x % 10;
        if (c != 0 && c % 2 == 0)
        {
            a = a + c * p;
            p = p * 10;
        }
        x = x / 10;
    }
    while (y > 0)
    {
        c = y % 10;
        if (c != 0 && c % 2 == 0) r = r * 10 + c;
        y = y / 10;
    }
    if (a == r && a != 0) rez = 1;
    else rez = 0;
}
```
Din x se păstrează cifrele pare nenule în ordinea lor, formând numărul a (fiecare cifră păstrată se pune în fața celor de dinainte, cu puterea p a lui 10). Din y se păstrează tot cifrele pare nenule, dar în ordine inversă: luate de la dreapta și alipite la sfârșit, formează numărul r. x și y sunt par-oglindite exact când a = r. Cazul în care niciunul nu are cifre pare nenule dă a = r = 0; exemplul x=15, y=510 cere atunci rez=0, de aceea se verifică și a ≠ 0.
Exercițiul 2 10p Tablouri bidimensionale
Scrieți un program C/C++ care citește de la tastatură două numere naturale din intervalul [2,10^{^2}], k și n (k≥n), și construiește în memorie un tablou bidimensional cu n linii și n coloane, astfel încât parcurgând diagonala principală, de sus în jos, să se obțină un șir strict crescător format din primii n multipli naturali nenuli ai lui k, și parcurgând fiecare linie a sa, de la stânga la dreapta, să se obțină câte un șir strict descrescător de numere naturale consecutive.
Programul afișează pe ecran tabloul obținut, fiecare linie a tabloului pe câte o linie a ecranului, elementele de pe aceeași linie fiind separate prin câte un spațiu.
Exemplu: pentru k=5 și n=4 se obține tabloul alăturat.
5 4 3 2
11 10 9 8
17 16 15 14
23 22 21 20
Vezi rezolvareaAscunde rezolvarea
```
#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
    int k, n, a[100][100], i, j;
    cin >> k >> n;
    for (i = 0; i < n; i++)
        for (j = 0; j < n; j++)
            a[i][j] = k * (i + 1) + i - j;
    for (i = 0; i < n; i++)
    {
        for (j = 0; j < n; j++)
            cout << a[i][j] << ' ';
        cout << '\n';
    }
    return 0;
}
```
Pe diagonala principală, linia i (numerotând de la 0) are multiplul k·(i+1). Pe fiecare linie valorile scad cu 1 de la stânga la dreapta, deci elementul de pe coloana j este cu i−j mai mare decât cel de pe diagonală: k·(i+1) + i − j. Condiția k ≥ n face ca toate valorile să fie numere naturale nenule.
Exercițiul 3.a 2p Algoritmi eficienți
La o expoziție auto se află, în șir, mașini de epocă, fiecare având câte un cod, format prin alipirea, în această ordine, a două numere naturale nenule: identificatorul colecționarului care deține mașina, respectiv anul fabricației acesteia.
Fișierul bac.txt conține numere naturale: pe prima linie un număr x (x∈[1880,1950]), reprezentând un an calendaristic, iar pe a doua linie cel mult 10^{^5} numere din intervalul [10^{^4},10^{^9}], reprezentând codurile mașinilor, în ordinea din șirul în care sunt expuse. Numerele aflate pe aceeași linie în fișier sunt separate prin câte un spațiu.
Se cere să se afișeze pe ecran identificatorii colecționarilor care dețin ultimele două mașini, din șirul celor expuse, ambele fiind fabricate în anul x și aflate în șir pe poziții consecutive, ca în exemplu. Numerele, nu neapărat distincte, sunt afișate în ordinea în care mașinile corespunzătoare apar în șir, separate printr-un spațiu, iar dacă nu există două astfel de mașini, se afișează pe ecran mesajul nu exista. Proiectați un algoritm eficient din punctul de vedere al memoriei utilizate și al timpului de executare.
Exemplu: dacă fișierul conține numerele de mai jos, atunci pe ecran se afișează 3 15
```
1925
31885 21925 8931925 31925 121900 11925 31925 151925 61950 201925 121880
```
Descrieți în limbaj natural algoritmul proiectat, justificând eficiența acestuia.
Vezi rezolvareaAscunde rezolvarea
Timp de executare: O(n) · Memorie: O(1)
Codul unei mașini se termină cu anul fabricației, care are patru cifre: anul este codul % 10000, iar identificatorul colecționarului este codul / 10000.
Se citește anul x, apoi codurile pe rând, fără să fie memorate; se păstrează doar codul anterior (ant) și ultimii doi identificatori găsiți (pu și u, pornite de la -1). Pentru fiecare cod curent, dacă atât el, cât și codul anterior au anul x, perechea lor devine ultima găsită: pu = ant / 10000, u = crt / 10000. Apoi codul curent devine cel anterior. La final, dacă u a rămas -1 se afișează nu exista, altfel pu și u.
Eficiență: fiecare cod se prelucrează o singură dată, în timp constant, deci algoritmul este liniar în numărul de coduri; se folosesc doar câteva variabile simple, deci memoria este constantă.
Exercițiul 3.b 8p Algoritmi eficienți
Același algoritm ca la 3.a.
Fișierul bac.txt conține numere naturale: pe prima linie un număr x (x∈[1880,1950]), reprezentând un an calendaristic, iar pe a doua linie cel mult 10^{^5} numere din intervalul [10^{^4},10^{^9}], reprezentând codurile mașinilor, în ordinea din șirul în care sunt expuse. Numerele aflate pe aceeași linie în fișier sunt separate prin câte un spațiu.
Se cere să se afișeze pe ecran identificatorii colecționarilor care dețin ultimele două mașini, din șirul celor expuse, ambele fiind fabricate în anul x și aflate în șir pe poziții consecutive, ca în exemplu. Numerele, nu neapărat distincte, sunt afișate în ordinea în care mașinile corespunzătoare apar în șir, separate printr-un spațiu, iar dacă nu există două astfel de mașini, se afișează pe ecran mesajul nu exista. Proiectați un algoritm eficient din punctul de vedere al memoriei utilizate și al timpului de executare.
Exemplu: dacă fișierul conține numerele de mai jos, atunci pe ecran se afișează 3 15
Scrieți programul C/C++ corespunzător algoritmului proiectat.
Vezi rezolvareaAscunde rezolvarea
```
#include <fstream>
#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
    ifstream fin("bac.txt");
    int x, ant = 0, crt, pu = -1, u = -1;
    fin >> x;
    while (fin >> crt)
    {
        if (ant % 10000 == x && crt % 10000 == x)
        {
            pu = ant / 10000;
            u = crt / 10000;
        }
        ant = crt;
    }
    fin.close();
    if (u == -1) cout << "nu exista";
    else cout << pu << ' ' << u;
    return 0;
}
```
Programul face pașii de la 3.a. ant pornește de la 0, care nu are anul x, deci primul cod nu formează o pereche cu nimic. Codurile ajung până la 10^{^9} și încap în tipul int.

Vrei să vezi ce notă ai lua la examen?

Intră în modul simulare: ai cronometru de 3 ore, codul ți se compilează pe loc, iar la final primești nota conform baremului.

Începe simularea3 ore

Bac informatică 2025 Model, rezolvat

📌 Despre Modelul din 2025

⚠️ La ce să fii atent

Subiectul I

Exercițiul 1 4p Expresii și operatori

Exercițiul 2 4p Recursivitate

Exercițiul 3 4p Șiruri de caractere

Exercițiul 4 4p Grafuri orientate

Exercițiul 5 4p Grafuri neorientate

Subiectul al II-lea

Exercițiul 1.a 6p Algoritmi în pseudocod

Exercițiul 1.b 6p Algoritmi în pseudocod

Exercițiul 1.c 10p Algoritmi în pseudocod

Exercițiul 1.d 6p Algoritmi în pseudocod

Exercițiul 2 6p Backtracking

Exercițiul 3 6p Tipul înregistrare (struct)

Subiectul al III-lea

Exercițiul 1 10p Subprograme

Exercițiul 2 10p Tablouri bidimensionale

Exercițiul 3.a 2p Algoritmi eficienți

Exercițiul 3.b 8p Algoritmi eficienți